高等数学：如何求函数的凹凸性和拐点

求函数的凹凸性和拐点，可以通过以下步骤进行：

1. 求一阶导数和二阶导数

对函数 ( f(x) ) 求一阶导数 ( f'(x) ) 和二阶导数 ( f''(x) )。

2. 判断凹凸性

根据二阶导数的符号来判断函数的凹凸性：

如果 ( f''(x) > 0 ) 在某区间内恒成立，那么 ( f(x) ) 在该区间内是凹的（向上凸）。

如果 ( f''(x) < 0 ) 在某区间内恒成立，那么 ( f(x) ) 在该区间内是凸的（向下凸）。

3. 求拐点

拐点是凹凸性改变的地方，可以通过以下步骤找到拐点：

找到 ( f''(x) = 0 ) 的所有实数解。

找到 ( f''(x) ) 不存在的点。

对这些点进行分类：

如果 ( f''(x) ) 在该点两侧的符号不同，则该点是拐点。

如果 ( f''(x) ) 在该点两侧的符号相同，则该点不是拐点。

4. 求拐点的坐标

找到拐点后，计算拐点的坐标：

( x = x_0 ) 是拐点的横坐标。

( y = f(x_0) ) 是拐点的纵坐标。

示例

假设函数 ( f(x) = x3 6x2 + 9x + 1 )。

步骤 1：求一阶导数和二阶导数

[ f'(x) = 3x2 12x + 9 ]

[ f''(x) = 6x 12 ]

步骤 2：判断凹凸性

当 ( f''(x) > 0 ) 时，函数是凹的；当 ( f''(x) < 0 ) 时，函数是凸的。

步骤 3：求拐点

[ f''(x) = 0 ]

[ 6x 12 = 0 ]

[ x = 2 ]

步骤 4：求拐点的坐标

[ y = f(2) = 23 6 cdot 22 + 9 cdot 2 + 1 = 1 ]

所以，拐点的坐标是 ( (2, 1) )。在这个点，函数从凹变为凸。

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