基础解系是指在解线性方程组时，能够表示该方程组所有解的一个最小解集。下面是求基础解系的一般步骤：
1. 将线性方程组转换为增广矩阵
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将线性方程组转换成增广矩阵形式。
2. 进行行简化
对增广矩阵进行行简化操作，即高斯消元法，直到矩阵达到行阶梯形或简化行阶梯形。
3. 确定基础解系的自由变量
在行简化后的矩阵中，找到所有非主元列（即没有主元（即没有唯一的1作为首项的列）的列）。这些列对应的变量是自由变量。
4. 构造自由变量
选择一个自由变量，令其为1，其余自由变量为0，然后解出该变量对应的方程组的解。这个解就是基础解系中的一个解。
5. 构造其他基础解
对于每个自由变量，重复步骤4，构造出所有基础解系中的解。
6. 确定基础解系
将所有步骤4中得到的解向量组合起来，就可以得到一个基础解系。这个解系中的解向量是线性无关的，并且能够表示方程组的所有解。
示例
假设我们有以下线性方程组：
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