两个矩阵 (A) 和 (B) 合同（或称为等价）的充要条件是它们具有相同的正负惯性指数，并且它们的特征值集合相同。具体来说，以下条件是两个矩阵合同的条件：
1. 正负惯性指数相同：两个矩阵 (A) 和 (B) 的正惯性指数（即 (A) 和 (B) 的特征值中正数的个数）和负惯性指数（即 (A) 和 (B) 的特征值中负数的个数）必须相同。
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2. 特征值集合相同：矩阵 (A) 和 (B) 必须有相同的特征值集合，这意味着它们的所有特征值都相同，只是可能顺序不同。
3. 谱性质相同：如果矩阵 (A) 和 (B) 是实对称矩阵，那么它们合同当且仅当它们具有相同的正负惯性指数，并且它们的所有特征向量可以相互对齐（即通过一个正交变换，(A) 的特征向量可以转换为 (B) 的特征向量）。
4. 迹相同：两个矩阵的迹（即主对角线元素之和）相同。迹是矩阵特征值的和，因此如果两个矩阵合同，它们的迹必须相同。
5. 行列式相同：两个矩阵的行列式相同。行列式是矩阵特征值的乘积，因此如果两个矩阵合同，它们的行列式也必须相同。
6. 惯性形式相同：两个矩阵可以通过相似变换（包括对角化、正交变换等）转换为具有相同正负惯性指数的对角矩阵。
如果矩阵 (A) 和 (B) 是复矩阵，合同的条件更为复杂，可能涉及到它们的最小多项式和特征向量空间的性质。
合同是一种比相似更强的等价关系，它不仅要求矩阵之间可以相互对角化，还要求它们有相同的正负惯性指数。
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