为什么矩阵的秩等于未知数个数就只有零解

矩阵的秩等于未知数个数时，意味着该矩阵是一个满秩矩阵。在这种情况下，矩阵的行向量组是线性无关的，也就是说，没有任何一个行向量可以表示为其他行向量的线性组合。

在线性方程组中，系数矩阵的秩等于未知数的个数，有以下含义：

1. 唯一解：如果增广矩阵的秩也等于系数矩阵的秩，那么方程组有唯一解。这是因为系数矩阵的行向量组能够完全确定一个解空间，而增广矩阵的行向量组则进一步确定了唯一的解。

2. 无解：如果增广矩阵的秩小于系数矩阵的秩，那么方程组无解。这是因为增广矩阵的行向量组不能完全确定一个解空间，因此不可能找到满足所有方程的解。

3. 无穷多解：如果增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩，但小于未知数的个数，那么方程组有无穷多解。这是因为系数矩阵的行向量组不能完全确定一个解空间，但它们可以确定一个超平面（或者更高维的空间），解空间是这个超平面的所有线性组合。

现在回到你的问题，为什么矩阵的秩等于未知数个数就只有零解？

假设我们有一个线性方程组，其系数矩阵的秩等于未知数的个数。这意味着系数矩阵的行向量组是线性无关的，并且它们构成了一个满维的解空间。如果方程组有非零解，那么至少存在一个非零向量，它能够被系数矩阵的行向量组线性表示。然而，这与系数矩阵的行向量组线性无关的性质相矛盾，因为线性无关的定义就是没有任何一个向量可以被其他向量的线性组合表示。

因此，如果系数矩阵的秩等于未知数的个数，那么方程组不可能有非零解，只能有零解。这是因为只有零向量才能被一个线性无关的向量组表示，而任何非零向量都无法满足这个条件。

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