矩阵有二重特征值，为什么特征方程秩为1

矩阵具有二重特征值时，其特征方程的秩为1，这是因为特征值与矩阵的秩和行列式有密切关系。以下是详细的解释：

1. 特征值与特征向量的关系：

对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av = λv，其中λ是标量，那么λ就是矩阵A的一个特征值，v是相应的特征向量。

2. 特征值的重数：

如果一个特征值λ是矩阵A的二重特征值，那么它对应的特征向量v1和v2不一定是线性无关的。换句话说，存在一个非零向量v3，使得v3 = αv1 + βv2，其中α和β是标量。

3. 特征向量的线性组合：

由于v3 = αv1 + βv2，我们可以将v3作为特征向量v1和v2的线性组合。这意味着，除了v1和v2之外，还存在其他向量也是矩阵A的特征向量，且对应相同的特征值λ。

4. 特征向量的秩：

在特征值λ对应的特征向量空间中，所有特征向量都可以表示为v1和v2的线性组合。因此，这个特征向量空间的维数至多为2。

5. 特征方程的秩：

特征方程的解空间就是所有特征向量的集合。由于特征向量空间至多为2维，那么特征方程的解空间的维数也至多为2。因此，特征方程的秩至多为2。

6. 特征方程秩为1的原因：

当矩阵A具有二重特征值λ时，如果存在非零向量v3 = αv1 + βv2，使得v3也是特征向量，那么特征方程的解空间就包含除了v1和v2之外的向量v3。这意味着特征方程的解空间至少有3个线性无关的向量，即秩至少为3。然而，由于特征向量的线性组合仍然是特征向量，我们可以通过线性组合来表示这3个向量，从而使得特征方程的解空间的秩降低到1。

综上所述，当矩阵A具有二重特征值λ时，其特征方程的秩为1。

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