二元函数的线性化函数，也称为切线近似或局部线性化，是指在某个特定点（比如函数的临界点或某个特定点）处，将原函数用线性函数来近似的方法。具体来说，对于一个二元函数 ( f(x, y) )，其线性化函数在点 ( (x_0, y_0) ) 处可以表示为：
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[ L(x, y) = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x x_0) + f_y(x_0, y_0)(y y_0) ]
其中：
( f(x_0, y_0) ) 是原函数在点 ( (x_0, y_0) ) 的函数值。
( f_x(x_0, y_0) ) 是函数 ( f ) 在点 ( (x_0, y_0) ) 对 ( x ) 的偏导数。
( f_y(x_0, y_0) ) 是函数 ( f ) 在点 ( (x_0, y_0) ) 对 ( y ) 的偏导数。
这个线性化函数 ( L(x, y) ) 是原函数 ( f(x, y) ) 在点 ( (x_0, y_0) ) 的一个很好的局部近似，尤其是在点 ( (x_0, y_0) ) 附近。它通常用于简化复杂的数学问题，如优化问题中的梯度下降法，或者用于数值计算中，比如在数值微分和数值积分中。
例如，对于函数 ( f(x, y) = x2 + y2 )，在点 ( (1, 1) ) 处的线性化函数为：
[ L(x, y) = f(1, 1) + f_x(1, 1)(x 1) + f_y(1, 1)(y 1) ]
[ L(x, y) = 2 + 2(x 1) + 2(y 1) ]
[ L(x, y) = 2x + 2y 2 ]
在点 ( (1, 1) ) 附近，这个线性化函数可以用来近似原函数 ( f(x, y) )。
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