要解决这个问题，我们可以使用组合数学中的“错排”概念。错排是指将一组元素重新排列，使得没有任何元素处于其原始位置。
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在这个问题中，我们有四个区域，需要用四种不同的颜色来涂色，并且相邻区域颜色不能相同。我们可以将这四个区域看作是四个不同的位置，需要用四种不同的颜色填充，同时满足相邻区域颜色不同的条件。
我们可以将问题简化为三个区域用三种颜色涂色，并且相邻区域颜色不同的错排问题。对于三个区域，有2种错排方法（ABC和ACB），因为：
1. ABC：区域1涂色A，区域2涂色B，区域3涂色C。
2. ACB：区域1涂色A，区域2涂色C，区域3涂色B。
现在，对于第四个区域，我们可以将其颜色与前面的任何一个区域不同，因此有3种选择。所以，对于每一种错排方法，都有3种颜色可以涂在第四个区域。
因此，总的涂色方法数是错排方法数乘以第四个区域的选择数，即：
2（错排方法数）× 3（第四个区域的选择数）= 6种涂色方法。
所以，用四种颜色涂色，相邻区域颜色不同的方法共有6种。
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