半正定矩阵是线性代数中的一个概念，它是指对于矩阵 ( A )，如果对于任意非零向量 ( x )，都有 ( xT A x geq 0 )，则称矩阵 ( A ) 为半正定矩阵。这里的 ( xT ) 表示向量 ( x ) 的转置，( A ) 是一个 ( n times n ) 的矩阵。
具体来说，半正定矩阵具有以下性质：
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1. 非负特征值：一个矩阵是半正定的，当且仅当它的所有特征值都是非负的。
2. 正定矩阵的子矩阵：如果一个矩阵是正定的，那么它的任何子矩阵也是正定的。因此，如果一个矩阵的所有子矩阵都是半正定的，那么这个矩阵也是半正定的。
3. 对称性：半正定矩阵通常是实对称矩阵，但不是必须的。实对称矩阵是指矩阵与其转置矩阵相等。
半正定矩阵在数学、物理学、工程学等多个领域都有广泛的应用，特别是在优化问题和矩阵分解中。例如，最小二乘法中的协方差矩阵通常被假设为半正定的。
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