剩余数定理（Remainder Theorem）是数学中的一个基本定理，它描述了多项式除以线性多项式时的余数。具体来说，如果有一个多项式 ( f(x) ) 和一个线性多项式 ( x a )，那么 ( f(x) ) 除以 ( x a ) 的余数等于 ( f(a) )。
.png)
以下是剩余数定理的表述：
定理：设 ( f(x) ) 是一个多项式，( a ) 是一个常数。如果 ( x a ) 是 ( f(x) ) 的一个因式，那么 ( f(a) = 0 )。反之，如果 ( f(a) = 0 )，那么 ( x a ) 是 ( f(x) ) 的一个因式。
证明：
假设 ( f(x) = b_0 + b_1x + b_2x2 + cdots + b_nxn )，其中 ( b_n neq 0 )。根据多项式除法，我们可以将 ( f(x) ) 除以 ( x a ) 得到一个商 ( q(x) ) 和一个余数 ( r(x) )，使得：
[ f(x) = (x a)q(x) + r(x) ]
其中 ( deg r(x) < deg (x a) = 1 )，即 ( r(x) ) 是一个常数。
当 ( x = a ) 时，( x a = 0 )，所以：
[ f(a) = (a a)q(a) + r(a) = r(a) ]
因此，余数 ( r(a) ) 就是 ( f(a) )。
由此可见，剩余数定理不仅描述了多项式除法中的余数，还揭示了多项式在特定点 ( a ) 的值与多项式除以 ( x a ) 的余数之间的关系。这个定理在多项式理论、代数和数论中都有广泛的应用。
发表回复
评论列表（0条）