矩阵的秩(rank)是线性代数中的一个重要概念,它表示矩阵中线性无关的行或列的最大数目。对于一个( m times n )的矩阵( A ),其秩可以用以下几种公式来表示:
1. 行列式法:如果矩阵( A )是方阵(即( m = n )),那么矩阵的秩等于其非零行列式的个数。
2. 极大线性无关组法:矩阵的秩等于其极大线性无关组中向量的个数。
3. 秩-满秩分解法:如果矩阵( A )可以被分解为( A = BC ),其中( B )是( m times k )的矩阵,( C )是( k times n )的矩阵,那么矩阵的秩( r(A) )等于( r(B) )和( r(C) )的较小者,即:
[
r(A) = min{r(B), r(C)
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